20) Meteorologia dinamica: gli Eliassen-Palm flux

Meteorologia dinamica: gli Eliassen-Palm flux

di Claudio Giulianelli

Villa San Giovanni in Tuscia, 1 Settembre 2021.
Vedremo in questo appuntamento un argomento che ci permetterà, al prossimo, di dare almeno dei cenni sull’interazione troposfera-stratosfera, articolo in cui torneremo a parlare di onde di Rossby delle medie latitudini.

Abbiamo visto negli articoli precedenti il ciclo di Lorentz dell’energia, che ci diceva come la circolazione zonale e la eddy si scambiavano energia tra di loro. Per farlo avevamo preso le Navier-Stokes in approssimazione quasi geostrofica, che altro non sono che le equazioni del moto, e le avevamo moltiplicate per la velocità per ottenere le equazioni per l’energia.

Stavolta faremo la stessa cosa, ma per l’equazione della vorticità, che come abbiamo già detto altre volte è una quantità che ci da informazioni dirette su alcuni elementi della circolazione generale atmosferica, più che le equazioni per la velocità.
Prenderemo dunque l’equazione per la vorticità e la moltiplicheremo scalarmente per la vorticità stessa: cercheremo dunque di capire come evolve l’enstrofia.

Chiariamo subito il significato fisico dell’enstrofia: abbiamo già detto, quando abbiamo visto il ciclo di Lorenz, che il quadrato della velocità era un’energia. Il quadrato della vorticità si chiama enstrofia. La vorticità ci dice la rapidità nello spazio con cui ruota il vento, l’enstrofia è dunque l’energia del moto rotazionale. Enstrofia nulla vuol dire che il vento non ruota, enstrofia grande vuol dire che il vento vira molto velocemente spostandosi tra due punti sulla superficie terrestre.

Detto ciò, prendiamo l’equazione linearizzata della vorticità (intendendo sempre la assoluta d’ora in avanti, che chiameremo pigreco), con le variabili scomposte in un valor medio più un valore piccolo “eddy”
Immagine
e moltiplichiamola per la vorticità stessa. I passaggi sono i seguenti:
Immagine
e dato che
Immagine
e tenendo conto del fatto che trascuriamo i prodotti delle quantità eddy (linearizzazione dell’equazione), otteniamo
Immagine
Qui abbiamo separato le variabili come somma di una quantità media, indicata con le parentesi quadre, più una eddy, indicata con l’apostrofo.
Abbiamo già detto, nel ciclo di Lorentz, che il vento è in media zonale e dunque [v]=0, inoltre anche la vorticità abbiamo già visto essere mediamente una funzione di y (la vorticità aumenta salendo di latitudine), quindi la derivata in x di [zeta] è zero. L’equazione diventa dunque
Immagine
ora non ci resta che moltiplicare l’equazione per zeta primo e integrare sul volume, dato che vogliamo vedere come evolve l’enstrofia media per unità di volume. Possiamo vedere che il secondo termine dell’equazione sopra si annulla secondo i seguenti passaggi:
Immagine
abbiamo riscritto tale termine scrivendolo come la derivata di tutto meno la vorticità per la derivata del vento medio zonale. Ma la derivata del vento medio zonale in x è zero, dunque rimane l’identità finale. Ora moltiplichiamo per pigreco’ e ne facciamo l’integrale per parti:
Immagine
dove entrambi i termini sono nulli, il primo perchè la quantità pigreco alla seconda per [U] è calcolata agli estremi che però coincidono, dato che stiamo integrando su una curva chiusa (l’integrale lungo la latitudine è un integrale in x), mentre nel secondo integrale [U] è una media zonale, quindi non è funzione di x e può essere portato fuori dall’integrale, e rimane l’integrale di una derivata in x dell’enstrofia che è di nuovo zero perchè gli estremi di integrazione coincidono.
Rimane la seguente equazione:
Immagine
Dove è sottinteso che le quantità protagoniste di questa equazione siano integrate sul volume (dettaglio che comunque, ai fini pratici, non cambia la situazione).
Cominciamo ad interpretare questa importante equazione: abbiamo detto che la vorticità cresce con la latitudine, quindi la derivata di pigreco medio con la latitudine è positiva. A determinare l’evoluzione temporale dell’enstrofia (pigreco eddy al quadrato) è dunque il pezzo v*zeta al membro di destra, che rappresenta un trasporto lungo i meridiani di vorticità. Ignoriamo la presenza del termine con D’ (che può anche essere trascurato). In particolare se il trasporto v’*pigreco’ è negativo, l’enstrofia associata alla circolazione atmosferica aumenterà nel tempo, perchè il trasporto ha un segno meno davanti. Viceversa, se tale trasporto sarà positivo allora l’enstrofia diminuirà nel tempo.

Tale trasporto è negativo se succedono le seguenti cose:
1) Trasporto vorticità negativa verso nord (pigreco negativo e v positiva)
2) Trasporto vorticità positiva verso sud (pigreco positivo e v negativa)

Sappiamo che una circolazione anticiclonica è associata a vorticità negativa, perchè le masse d’aria ruotano attorno all’alta pressione in senso orario. Se un anticiclone sale di latitudine, sto portando verso nord (v positivo) vorticità negativa, ci troviamo nel primo caso. Se una bassa pressione si muove verso sud, sto portando verso sud (v negativo) vorticità positiva. In tal caso l’enstrofia cresce.

Tale trasporto è positivo se succedono le seguenti cose:
1) Trasporto vorticità positiva verso nord (v positivo pigreco positivo)
2) Trasporto vorticità negativa verso sud (v negativo pigreco negativo)

Con lo stesso ragionamento appena fatto sopra, questo vuol dire che gli anticicloni scendono di latitudine e le basse pressioni salgono di latitudine. In questo caso l’enstrofia diminuisce.

Abbiamo detto che l’enstrofia ci da una indicazione di quanto la circolazione atmosferica sia “rotante”, in sostanza di quanto sia turbolenta. Se l’enstrofia cresce vuol dire che stiamo andando incontro ad una situazione con una circolazione eddy sempre più energetica, pronunciata. Il massimo di enstrofia lo si raggiunge quando tutti i sistemi sinottici hanno raggiunto la forma circolare, forma che rappresenta la massima rotazione del vento orizzontale. Questo vuol dire che se un anticiclone comincerà a spingersi verso nord e una saccatura verso sud, finiranno per andare in cut off con gli anticicloni ad isolarsi alle alte latitudini e le depressioni alle basse latitudini. Viceversa quando l’enstrofia diminuisce, vuol dire che la circolazione atmosferica tende ad eliminare la sua vorticosità, ossia il flusso si fa lineare. In sostanza, tende a consolidarsi il flusso medio zonale teso da ovest ad est. Vediamo un esempio di questi movimenti:
Immagine
Questa è un’animazione della 1.5 PVU, che rappresenta la quota alla quale si trova il valore di vorticità potenziale di 1.5 PVU. Infatti abbiamo detto che tipicamente la vorticità potenziale sulla Terra aumenta salendo di latitudine e diminuisce salendo di quota. Quando osserviamo questa animazione stiamo dunque guardando la quota alla quale vi è tale valore di vorticità. C’è da ricordarsi che tanto più H è piccolo, tanto maggiore è la vorticità potenziale, quindi le zone blu, quelle con altezza più bassa, indicano le zone a maggior vorticità. Notate che ad inizio animazione vi è una zona verde sulla Groenlandia. La 1.5 PVU è alta perchè vi è un massimo di pressione, con vorticità dunque negativa. Notate che tale zona verde si sposta verso sud. Stiamo guardando esattamente un trasporto verso sud di vorticità negativa, quindi un flusso di vorticità positivo: l’enstrofia sta diminuendo. Che cosa vuol dire questo? Che quando un anticiclone isolato alle alte latitudini (enstrofia elevata) viene riassorbito dalla fascia anticiclonica subtropicale alle basse latitudini, l’enstrofia torna a diminuire ossia si ripristina la zonalità (rinforzo dei venti occidentali). Viceversa se un anticiclone sale l’enstrofia aumenta, ossia la zonalità rallenta e si enfatizzano gli scambi meridiani (come avviene tra Italia e Balcani nel periodo 10-13 maggio).

La vorticità totale può essere esplicitata, essendo data dalla somma di due termini in questo contesto, della relativa e da un termine di shear verticale
Immagine
e con i due termini che possono essere riscritti nel seguente modo:
Immagine
questa riscrittura la si ottiene con un passaggio analogo a quello fatto sopra per far vedere che quel termine veniva zero, li si scrive come derivata di tutto meno il termine inizialmente derivato per la derivata dell’altro termine.

Mettendo tutto insieme il trasporto di vorticità diventa:
Immagine
Questa espressione è una somma di derivate: è per definizione la divergenza di un campo! Il campo è il seguente
Immagine
Indicato con le 3 componenti I,J,K. se si fa la media zonale anche dei termini del campo, questo si riduce alla seguente forma
Immagine
e il trasporto di vorticità diventa quello sopra indicato. Facendo la media zonale, come successo precedentemente, è scomparso il termine di derivata in x. Abbiamo dunque che
Immagine
dove F è noto come Eliassen-Palm flux e la sua divergenza è legata al trasporto lungo i meridiani della vorticità. Quando il trasporto di vorticità è negativo (ossia anticicloni che migrano verso nord e basse pressioni verso sud), la divergenza degli Eliassen-Palm è negativa, ossia abbiamo flussi convergenti (si dice in genere che gli EP flux sono convergenti), viceversa quando alte pressioni migrano verso sud e le basse a nord la divergenza di F è positiva ( EP flux divergenti).

Abbiamo già introdotto molti concetti, ma prima di passare a vedere l’applicazione di tutto ciò dobbiamo ancora notare una cosa: F è un vettore di due componenti, J e K. Un vettore lo si può rappresentare su un piano cartesiano, e in particolare la direzione J indica la direzione meridionale e K quella verticale. Quindi questi vettori giacciono su un piano verticale esteso dall’equatore al polo. In ogni punto della sezione verticale dell’atmosfera avremo un vettore F, che dunque ci permette di costruire un campo vettoriale. Ecco nell’immagine sotto una carta esempio di questo campo vettoriale di F
Immagine
Cerchiamo di capire cosa determina l’inclinazione delle frecce: ognuna di loro sarà data dalla somma vettoriale delle componenti proiettate sull’asse J e K, come in figura. Dalla definizione di F, vediamo che il modulo e il segno della componente J è dato da -u’v’. è una quantità che abbiamo già incontrato proprio studiando il ciclo di Lorentz dell’energia! è un flusso di momento.

Se u’v’ è positivo (ossia il vento u e il vento v hanno lo stesso segno, quindi vento da sud e da ovest o vento da nord e da est), allora col segno negativo davanti la componente J del vettore sul grafico sarà negativa, ossia diretta verso sinistra.
Se u’v’ è negativo (ossia il vento u e il vento v hanno segni opposti, quindi vento da sud e da est o vento da nord e da ovest), allora la componente J del vettore F sarà positiva e orientata verso destra.

Nel ciclo di Lorentz avevamo visto che se i flussi di momento erano negativi, la circolazione eddy andava a prendere l’energia dalla circolazione zonale, quindi con tendenza a sviluppo di oscillazioni meridiane e ondate di freddo e maltempo verso le basse latitudini. In termini di Eliassen-Palm flux, questo vuol dire che i vettori si piegano verso destra per quanto detto poco sopra. Avevamo anche notato che i sistemi sinottici in grado di portare momento easterly verso nord o westerly verso sud (quindi u’ verso ovest e v’ verso nord o u’ verso est e v’ verso sud, u’v’ negativo) erano gli anticicloni/saccature inclinati con asse nordovest-sudest. Questo è semplice da capire se si guarda l’immagine sottostante
Immagine
la componente negativa del vento è stata fatta in blu, in rosso quella positiva.
Lo scirocco evidenziato sul bordo sinistro di quell’anticiclone rappresenta proprio un flusso di momento negativo. In quel punto tra Germania e Polonia il vento va verso nord e verso est, ed il prodotto delle due componenti è dunque negativo! Sul mediterraneo anche il prodotto delle due componenti (vento verso sud e verso ovest sul bordo sinistro della saccatura) è negativo.
Anticicloni/saccature di tale inclinazione avevamo detto che andavano a rallentare la zonalità (ed enstrofia che aumenta). E di conseguenza questo corrisponde a flussi di Eliassen-Palm convergenti, nonchè ad una espansione verso nord di tale anticiclone (trasporto verso nord di vorticità negativa)

Con un anticiclone/saccatura con asse sudovest-nordest invece avevamo visto che era il flusso zonale a strappare energia alla circolazione eddy, quindi zonalità che accelera (ed enstrofia che diminuisce) e quindi Eliassen-Palm divergenti positivamente che si associano ad un trasporto positivo di vorticità (dunque anticiclone che si muove verso sud o depressione verso nord).
Immagine
Ne deduciamo che:

Se vediamo un’onda di Rossby (sistema saccatura/anticiclone) inclinata con asse nordovest-sudest, gli EP flux in corrispondenza di essa si faranno convergenti e l’anticiclone si porterà a nord e la bassa pressione a sud (trasporto di vorticità negativa verso nord e positiva verso sud, flussi di vorticità negativi associati a divergenza negativa degli Ep flux), la zonalità rallenta e arrivano freddo e maltempo alle nostre latitudini e caldo e stabile alle alte. Vettori che si piegano a destra.

Se vediamo un’onda di Rossby (sistema saccatura/anticiclone) inclinata con asse sudovest-nordest, gli EP flux in corrispondenza di essa si faranno divergenti e l’anticiclone si porterà a sud e la bassa pressione a nord (trasporto di vorticità negativa verso sud e positiva verso nord, flussi di vorticità positivi associati a divergenza positiva degli EP flux), la zonalità accelera e il maltempo e freddo si portano alle alte latitudini, caldo e stabile alle basse. Vettori che si piegano a sinistra.

Dobbiamo far notare un’ultima cosa. Abbiamo detto che se i sistemi sinottici si piegano con asse nordovest-sudest la zonalità rallenta. In realtà dobbiamo essere ancora più precisi su come deve essere fatto il sistema sinottico delle medie latitudini: infatti se pensiamo al grafico con gli Eliassen-Palm rappresentati come vettori, dov’è che si ha convergenza in quel grafico? Dove i vettori si guardano reciprocamente (vettore a sinistra di un punto guarda a destra e il vettore a destra guarda a sinistra). Se invece si danno le spalle, ossia rispetto ad un punto il vettore a sinistra guarda a sinistra e il vettore a destra guarda a destra, allora li si ha divergenza positiva. Immaginiamo di voler vedere se gli EP flux siano convergenti a 60 nord di latitudine nella mappa a 500 hpa. La sinottica deve essere tale che a sud vi sia un flusso di momento easterly trasportato verso nord (allora la componente latitudinale del vettore guarda verso destra), a nord deve esservi un flusso di momento westerly verso nord (allora la componente latitudinale del vettore guarda verso sinistra). Abbiamo già detto che il flusso di momento easterly verso nord corrisponde ad un sistema sinottico inclinato con asse nordovest-sudest, mentre un flusso di momento westerly verso nord corrisponde ad un sistema sinottico inclinato sudovest-nordest. Questo vuol dire che un anticiclone che sale verso nord dovrà farlo piegandosi nordovest-sudest alle basse latitudini, e sudovest-nordest alle alte. In sostanza dovrà avere questa forma:
Immagine

Aggiungiamo infine che con D=0, l’enstrofia rappresenta una quantità conservata. Una qualsiasi quantità scalare quadratica che soddisfi un’equazione di conservazione si chiama attività d’onda. L’energia di un’onda di Rossby in genere non è conservata anche se aveva le carte in regola per essere un’attività d’onda, infatti l’energia l’avevamo scritta moltiplicando la velocità con se stessa, ossia avevamo fatto il prodotto scalare di due vettori che è uno scalare, ed è in questo caso uno scalare alla seconda. Stessa cosa per la vorticità, la cui enstrofia associata però è anche una quantità conservata. Si dimostra che F è scrivibile come il prodotto dell’attività d’onda per la velocità di gruppo dell’onda di Rossby, e l’equazione per l’evoluzione temporale dell’enstrofia diventa la seguente:
Immagine
Con A che rappresenta la vorticità al quadrato diviso la derivata del campo medio di vorticità con la latitudine, che stava a moltiplicare la divergenza di F nella prima riga.
Le considerazioni fatte precedentemente valgono dunque anche per l’attività d’onda, se gli EP flux sono convergenti aumenta l’attività d’onda. Quando un’onda di Rossby (saccatura/anticiclone) si mette con asse nordovest-sudest l’attività d’onda è destinata ad aumentare.

Non abbiamo ancora discusso il significato del secondo pezzo di flusso contenuto in F, quello di buoyancy (galleggiabilità di una massa d’aria) v’b’. Lo faremo nel prossimo articolo.

Si ringraziano Matteo Sacchetti di Meteonetwork e Antonio Federici per il confronto sul tema che ha aiutato nella stesura di questo articolo.
è possibile consultare le mappe dei vettori degli EP flux al seguente link
https://stratobserve.com/latprs_epflux_xsect
e la 1.5PVU al seguente link
https://www.meteociel.fr/modeles/gfse_cartes.php?ech=6&code=0&mode=4