La fluidodinamica, il più grande errore di Eulero?

di Claudio Giulianelli

Vogliamo raccontarvi qualcosa in più su questo scienziato, che viene nominato molto spesso in ambito scientifico. Stiamo parlando di Leonhard Euler, nato a Basilea il 15 aprile 1707 e morto a San Pietroburgo il 18 settembre 1783. Il suo nome è più noto nella versione italianizzata di Eulero in Italia.

Eulero è stato il matematico più prolifico della storia, a lui si devono molte scoperte e il suo nome è molto ricorrente nella letteratura scientifica. A lui si deve uno degli schemi base nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali, che prende il nome di metodo di Eulero, nell’analisi fu molto importante la scoperta delle funzioni beta e gamma di Eulero, nella logica ritroviamo i diagrammi di Eulero-Venn. Calcolò la somma di svariate serie, come fu nell’episodio in cui un matematico, Goldbach, pose il problema ad Eulero noto come “problema di Basilea”, che consisteva nel calcolare la sommatoria della serie 1/n al quadrato. Nella meccanica razionale troviamo le equazioni di Eulero-Lagrange. è sempre bene ricordare che la matematica è linguaggio della fisica. Non c’è sviluppo della fisica se mancano gli strumenti matematici, le scoperte di Eulero hanno posto le basi per il grande sviluppo della fisica prima e dell’ingegneria poi nei 200 anni successivi.

Ma nella stessa fluidodinamica, come potrete notare dall’articolo 3 della rubrica di fluidodinamica presente sul nostro sito, Eulero è stato fondamentale. Le sue equazioni rappresentano il punto di partenza per la descrizione di un fluido, e nel primo articolo è stato introdotto il punto di vista euleriano nella descrizione del moto, alternativo al punto di vista Lagrangiano, punti di vista a cui corrispondono le equazioni nella relativa forma presentata nella rubrica. Sempre nell’articolo 3 però abbiamo anche notato che le equazioni di Eulero manifestano dei problemi. Si può davvero dire che la fluidodinamica rappresenti il più grande errore nella sua carriera?

Andiamo anzitutto a fare un focus rapido sulla sua vita per capire come sia arrivato a studiare anche la fluidodinamica:

Dobbiamo osservare che 300 anni fa, in realtà analogamente a quanto accade ancora oggi, la scienza si sviluppava laddove si investiva sulla ricerca. Fu così che in Russia gli zar, dapprima con Pietro il grande e poi con sua figlia Caterina, fondarono l’accademia delle scienze di San Pietroburgo. La Russia degli zar è già molto nota per l’amore che questi avevano per l’arte, per la musica ad esempio. Nelle corti reali del tempo, sotto questi stimoli, grandi opere sono state create e divenute immortali nella cultura occidentale. L’amore per la cultura e il sapere ha portato alla fondazione di tale accademia, che ha permesso a molti scienziati di potersi dedicare al pensiero e alla ricerca senza doversi preoccupare di ricavarsi cibo per tirare avanti, come capitava nella vita di gran parte delle persone.

Un po’ come accadde alla fine della seconda guerra mondiale, anche in questo caso la Russia accolse così molte menti brillanti da varie parti d’Europa, tra cui Leonhard Euler. Si narra che Euler avesse il suo ufficio, almeno per un periodo affacciato sul fiume Neva, fiume che attraversa la città, e che si fermasse tutti i giorni a guardare lo scorrere del fiume. Dopo un periodo di osservazione, il lampo di genio: con l’aiuto di altre persone cominciò a condurre poi sul moto del fiume i primi studi cercando di dare una descrizione di questo che fosse da un sistema di riferimento inerziale, ossia le sponde. Così facendo diede un’espressione matematica per la derivata temporale della velocità di un oggetto che scorre sul fiume che fosse valida anche per chi il fiume lo osserva non stando sul fiume stesso, ma da fermo al di fuori di esso. Da qui il termine di trasporto, non lineare, discusso nella rubrica di fluidodinamica. Fondamentale fu, dunque, nei suoi studi, l’intuizione nel dire che un oggetto che si muove su un fiume possiede un’accelerazione temporale ma anche spaziale, il cosiddetto “termine avvettivo” dell’equazione di Eulero.

Nelle equazioni da lui riportate però, la sola forza che agisce e quindi guida il movimento dell’acqua è il gradiente di pressione. Questo ha portato al cosiddetto paradosso di d’Alambert. Nelle equazioni di Eulero, come abbiamo visto nell’articolo 3 della rubrica di Fluidodinamica, la vorticità si conserva. Nell’articolo si è data un’interpretazione fisica di tale fatto, mostrando che se questo fosse vero l’acqua non “bagnerebbe” niente, non sentirebbe la presenza degli ostacoli. Ma in realtà “c’è di peggio”, perchè se ci pensate dire che la vorticità si conserva implica che i vortici osservati da Eulero sul fiume non si sarebbero mai dovuti dissolvere.

In effetti, le equazioni di Eulero riproducono bene una parte dei comportamenti dell’acqua, non tutti. Riproducono la turbolenza, perchè la presenza della turbolenza si spiega col termine avvettivo da lui introdotto. Ma la dissipazione dei vortici? Nessun termine delle sue equazioni spiega ciò.

Se si fosse preoccupato di verificare la bontà del suo lavoro, avrebbe constatato lui stesso questa anomalia nella sua descrizione della fluidodinamica e magari anche cestinato i suoi articoli! Ma questo non è successo, e a posteriori possiamo solo che dire per fortuna! Perchè le equazioni di Eulero sono valide, semplicemente sono incomplete! Dopo di lui furono aggiunti i termini dissipativi, dando vita alle equazioni di Navier-Stokes. Quindi, per rispondere alla domanda iniziale, più che parlare di errore si può parlare di ricerca ancora non completata.

D’altra parte un’altra curiosità su Eulero è la seguente: era talmente tanto produttivo che si narra che lasciasse tutti i suoi fogli e i suoi libri con i conti e gli studi da lui condotti sulla scrivania stracolma, e che quando all’accademia servisse di pubblicare qualcosa andava nel suo ufficio e prendeva uno dei suoi molteplici lavori per pubblicarlo. Talmente tanta era la mole di scoperte da lui fatte che suoi lavori hanno continuato ad essere pubblicati in tal modo dall’accademia fino a 40 anni dopo la sua morte.

Per di più, un incendio distrusse una parte dei suoi lavori andati dunque perduti per sempre. Chissà cosa stava scritto in quei fogli, magari aveva capito che le sue equazioni necessitavano dell’aggiunta di termini dissipativi e le equazioni più importanti della natura non prenderebbero il nome di equazioni di Navier-Stokes…

Leonhard Euler ritratto in un dipinto

Tra le varie menti brillanti che andarono a San Pietroburgo ci fu anche la famiglia Bernoulli, una famiglia che diede vita a molti matematici e fisici. Eulero sin dalla sua infanzia fu in stretti rapporti coi Bernoulli ed è grazie a loro che il suo pensiero scientifico prese il via. Divenne ben presto più preparato del suo amico Daniel Bernoulli, figlio di Johann, come testimonia ad esempio quanto visto nell’articolo 3 della rubrica di fluidodinamica: infatti il teorema di Bernoulli abbiamo visto che può essere ricavato dalle equazioni di Eulero, questo vuol dire che Eulero ha trovato un risultato più generale nella descrizione del fluido, che contiene anche il fenomeno descritto da Bernoulli.